આ સૂત્રને પ્રારંભિક સાધનો કે સૂત્રો વડે ઉકેલવું અશક્ય છે કેમકે એના ઉકેલ માટે શંકુચ્છેદોની જરૂર પડે છે. ગાણિતીય સાહિત્યમાં કદાચ આ સૌ પ્રથમ સર્વેક્ષણ જોવા મળે છે કે “ઘન પદાવલિઓનો ઉકેલ માત્ર ફુટપટ્ટી કે કમ્પાસથી ઉકેલી શકાય નહિ !
એવું કહેવાય છે કે ખૈયામ સૌ પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રી હતા જેમણે દર્શાવ્યું કે ઘન સૂત્રોને બે વર્ગમૂળ પણ હોઈ શકે છે. ત્રિપદીય સૂત્રોના ભૌમિતિક સિદ્ધાંતોનો અભ્યાસ અને ઉકેલ ખૈયામને સફળતમ ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં સ્થાન અપાવે છે. જયાં સુધી ૧૬મી સદીમાં ડેકાર્ત જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ વિષય ફેલાવ્યો નહીં ત્યાં સુધી યુરોપીયનોને એના વિષે જરાય ખબર ન હતી.
ખૈયામે વયસ્ત અજ્ઞાત સંજ્ઞાઓ ધરાવતા સૂત્રો વિશે પણ સંશોધન કર્યું અને એને સરળ બનાવીને ઉકેલ્યા.
દા.ત. 1⁄x3 + 31⁄x2 + 51⁄x = 33⁄8 ને x = 1z મૂકી સરળતા પૂર્ચક ઉકેલ્યા.
ફિલસૂફી અને કવિતા :−
ઉમર ખૈયામ ગણિતશાસ્ત્રી હોવા ઉપરાંત સારા ફિલસૂફ અને કવિ પણ હતા. કયો સાહિત્યપ્રેમી એમની ‘રૂબાઈયાત'થી અજાણ હશે ? ફિલસૂફીમાં ખૈયામે પાંચ પ્રબંધગ્રંથો લખ્યાનું મનાય છે. પ્રથમ પ્રબંધ 'રિસાલા અલ કૌન વલ તકલીફ' (Treatise on being and duty) ૧0૮0માં લખ્યું. બીજો પ્રબંધ 'અલ જવાબ અન તલાહ મસાઈલ' (An answer to the three question) મુઅય્યીદ લ મુલ્કની વિનંતીથી ત્રીજો પ્રબંધગ્રંથ 'રિસાલા ફિલ કુલ્લીયાત એલ વુજુદ' (Treatise on the Universality of Being) બીજા બે પ્રબંધો છે 'રિસાલા અલ દીયા અલ અકલી ફી મવદૂ અલ ઈલ્મ અલ કુલ્લી'(the light of reason on the subject of universal science) અને 'રિસાલા ફિલ વજૂદ' (Treatise on exeitence).
ઉમર ખૈયામ મુક્ત વિચારો ધરાવતા હતા. કેટલાક વિદ્વાનોનું માનવું છે કે તેઓ અજ્ઞેયવાદી હતા તો કેટલાક એમને નાસ્તિક પણ માને છે. આધ્યાત્મવાદી અબૂબક્ર નજમુદ્દીન અલ રાઝી ઉમર ખૈયામને 'દુખી ફિલસૂફ, ભૌતિકવાદી અને પ્રકૃતિવાદી' ગણાવે છે.
ખૈયામની ફિલસુફી ઉપર એરીસ્ટોટલ અને ઇબ્ને સીનાનો પ્રભાવ વર્તાય છે.
